Funciones hiperbólicas básicas: construcción geométrica y analítica de sus definiciones desde la hipérbola unitaria fundamental

Resumen

El artículo se centra en el estudio de las funciones trigonométricas hiperbólicas principales o básicas, con el propósito de ofrecer una comprensión rigurosa que integre los enfoques geométrico y analítico. El objetivo fundamental consiste en desarrollar una construcción formal de dichas funciones a partir de la hipérbola unitaria, estableciendo definiciones precisas y demostrando sus leyes de asignación en términos de la función exponencial natural. Para ello, se introduce inicialmente una interpretación geométrica mediante la construcción de segmentos denominados líneas hiperbólicas, las cuales surgen de la relación directa con la hipérbola unitaria y reciben los nombres de seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica. Posteriormente, se lleva a cabo un estudio matemático estructurado que integra herramientas como parametrizaciones, métodos de integración y razonamientos analíticos, permitiendo demostrar que estas líneas hiperbólicas representan funciones bien definidas. Este proceso no solo consolida el vínculo entre la geometría y el análisis, sino que también aporta una formalización coherente que fortalece el rigor teórico del tratamiento de las funciones hiperbólicas. El trabajo ofrece un aporte significativo tanto desde el punto de vista matemático como didáctico, al proponer una visión integradora y progresiva que resulta beneficiosa para estudiantes, docentes e investigadores interesados en el análisis matemático. En conclusión, aunque las funciones hiperbólicas principales suelen presentarse en la literatura de manera predominantemente analítica, expresadas en términos de la función exponencial, estas poseen un origen geométrico fundamental. También abre nuevas posibilidades para su aplicación didáctica y para el desarrollo de futuras investigaciones en el campo del análisis matemático.